CUANDO LOS NÚMEROS ROMANOS FORMAN PALÍNDROMOS

Autores: Fábio Aristimunho Vargas [1] y Elvis Sikora [2]

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[1] Escritor, palindromista y palindromólogo brasileño, autor de ARARA ЯAЯA – ensaio sobre a palindromia / antologia de palíndromos (2019).

[2] Cursa ingeniería en Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), Brasil.

Números que forman palíndromos son llamados capicúas. La palabra “capicúa” proviene del catalán, compuesta por tres términos: “cap” (cabeza), “i” (y), “cua” (cola). Algunos ejemplos de capicúas escritos en el sistema de numeración arábigo: “7”, “121”, “15.251”, “8.359.095,38”.

Números romanos, en su notación convencional, también forman capicúas. Como se trata de un sistema numérico limitado, es posible cuantificar e identificar la totalidad de capicúas en él incidentes.

¿Y cuántos son los capicúas romanos? Para contestar a tal pregunta, es necesario recopilar las reglas convencionales modernamente empleadas para notación de números romanos. Son siete cifras básicas, a las cuales se aplica un sistema aditivo-sustractivo y un sistema multiplicativo con dos basis:[3]

       I.            Cifras del sistema de numeración romano: I (uno), V (cinco), X (diez), L (cincuenta), C (cien), D (quinientos), M (mil).

    II.            Sistema aditivo: un mismo símbolo acumulado representa suma, acumulándose hasta tres veces el mismo símbolo: II (uno más uno: dos), III (uno más uno más uno: tres), XXX (treinta), CCC (trecientos), MMM (tres mil). Solamente los símbolos I, X, C e M se pueden acumular, mientras V, L y D no lo pueden (quince, por ejemplo, se escribe XV, y no *VVV; mil y quinientos se escribe MD, y no *DDD). Los símbolos son presentados en orden decreciente de valor, desde la izquierda hacia la derecha; así, cuando un símbolo es sucedido por un símbolo menor que él, se tiene una suma: LX (cincuenta más diez: sesenta), MDCCXVII (mil más quinientos más cien más cien más diez más cinco más uno más uno: mil setecientos y diecisiete).

 III.            Sistema sustractivo: cuando a la izquierda de un símbolo se escribe un símbolo menor que aquel, se indica sustracción: IV (cinco menos uno: cuatro), IX (diez menos uno: nueve), XL (cincuenta menos diez: cuarenta), XC (cien menos diez: noventa), CM (mil menos cien: novecientos). Del V y del X solamente se pude sustraer el I; del C, el X; del D, el C; del M, el C (ciento y noventa y nueve, por ejemplo, se escribe CXCIX, y no *CIC). De un mismo símbolo solamente se puede sustraer una única unidad de otro símbolo (mil ochocientos se escribe MDCCC, y no *MCCM).

 IV.            Sistema multiplicativo de basis mil: para representar valores más grandes, los romanos trazaban una línea horizontal sobre el número, registrado bajo las reglas anteriores, indicando su multiplicación por mil. Ejemplos: V (cinco mil), XXXMMDCXLI (treinta y dos mil seiscientos y cuarenta y uno). El símbolo M representa solamente la unidad de millar, no se le empleando para representar las otras unidades de millar por adición ni sustracción: IV (y no *MV, para cuatro mil), VI (y no *VM, para seis mil), VII (y no *VMM, para siete mil), VIII (y no *VMMM, para ocho mil) y IX (y no *MX, para nueve mil).

    V.            Sistema multiplicativo de basis un millón: se emplea un trazo doble sobre el número para indicar su multiplicación por un millón. Ejemplos: X (diez millones), XLVVLX (cuarenta y cinco millones cinco mil y sesenta), M (mil millones).

Con los tradicionales sistemas aditivo y sustractivo, desconsiderados los  sistemas multiplicativos, aplicadas estrictamente las reglas convencionales expuestas, el valor numérico máximo representado por números romanos é MMMCMXCIX (3.999). Ya con el sistema multiplicativo de basis mil (trazo simple), el número máximo es MMMCMXCIXCMXCIX (3.999.999). Y con el sistema multiplicativo de basis un millón (trazo doble), el número máximo es MMMCMXCIXCMXCIXCMXCIX (3.999.999.999).

LOS CAPICÚAS ROMANOS

Aclaradas las reglas convencionales de notación de números romanos, se puede averiguar cuantos son los capicúas romanos. Existirían tres respuestas posibles para tal cuestionamiento, según los sistemas que se adopten:

       I.            sistema aditivo-sustractivo: existe un total de 18 capicúas romanos entre I (1) y MMMCMXCIX (3.999);

    II.            sistema multiplicativo de basis mil: existe un total de 352 capicúas romanos entre I (1) y MMMCMXCIXCMXCIX (3.999.999);

 III.            sistema multiplicativo de basis un millón: existe un total de 6.950 capicúas romanos entre I (1) y MMMCMXCIXCMXCIXCMXCIX (3.999.999.999).

Se transcriben, enseguida, los 352 capicúas romanos del sistema multiplicativo de basis mil, o sea, todos los capicúas que ocurren en el intervalo entre I (1) y MMMCMXCIXCMXCIX (3.999.999):

I (1), II (2), III (3), V (5), X (10), XIX (19), XX (20), XXX (30), L (50), C (100), CXC (190), CC (200), CCC (300), D (500), M (1.000), MCM (1.900), MM (2.000), MMM (3.000), IVI (4.001), IVVI (4.006), IVXVI (4.016), IVXXVI (4.026), IVXXXVI (4.036), IVLVI (4.056), IVCVI (4.106), IVCXCVI (4.196), IVCCVI (4.206), IVCCCVI (4.306), IVDVI (4.506), V (5.000), VIV (5.004), VV (5.005), VXV (5.015), VXXV (5.025), VXXXV (5.035), VLV (5.055), VCV (5.105), VCXCV (5.195), VCCV (5.205), VCCCV (5.305), VDV (5.505), VIIV (6.004), VIV (6.005), VIXIV (6.014), VIXXIV (6.024), VIXXXIV (6.034), VILIV (6.054), VICIV (6.104), VICXCIV (6.194), VICCIV (6.204), VICCCIV (6.304), VIDIV (6.504), VIIIV (7.004), VIIV (7.005), VIIIIV (8.004), VIIIV (8.005), IXI (9.001), IXXI (9.011), IXXXI (9.021), IXXXXI (9.031), IXLXI (9.061), IXCXI (9.111), IXCCXI (9.211), IXCCCXI (9.311), IXDXI (9.511), X (10.000), XIX (10.009), XX (10.010), XXX (10.020), XXXX (10.030), XLX (10.060), XCX (10.110), XCCX (10.210), XCCCX (10.310), XDX (10.510), XMX (11.010), XMCMX (11.910), XMMX (12.010), XMMMX (13.010), XIVIX (14.009), XVX (15.010), XIX (19.000), XIXIX (19.009), XIXXIX (19.019), XIXXXIX (19.029), XIXXXXIX (19.039), XIXLXIX (19.069), XIXCXIX (19.119), XIXCCXIX (19.219), XIXCCCXIX (19.319), XIXDXIX (19.519), XX (20.000), XXX (20.010), XXXX (20.020), XXXXX (20.030), XXLXX (20.070), XXCXX (20.120), XXCCXX (20.220), XXCCCXX (20.320), XXDXX (20.520), XXMXX (21.020), XXMCMXX (21.920), XXMMXX (22.020), XXMMMXX (23.020), XXVXX (25.020), XXIXX (29.010), XXX (30.000), XXXX (30.010), XXXXX (30.020), XXXXXX (30.030), XXXLXXX (30.080), XXXCXXX (30.130), XXXCCXXX (30.230), XXXCCCXXX (30.330), XXXDXXX (30.530), XXXMXXX (31.030), XXXMCMXXX (31.930), XXXMMXXX (32.030), XXXMMMXXX (33.030), XXXVXXX (35.030), XXXIXXX (39.020), XLX (40.010), XLLX (40.060), XLCLX (40.160), XLCCLX (40.260), XLCCCLX (40.360), XLDLX (40.560), XLMLX (41.060), XLMCMLX (41.960), XLMMLX (42.060), XLMMMLX (43.060), XLVLX (45.060), L (50.000), LXL (50.040), LL (50.050), LCL (50.150), LCCL (50.250), LCCCL (50.350), LDL (50.550), LML (51.050), LMCML (51.950), LMML (52.050), LMMML (53.050), LVL (55.050), LXXL (60.040), LXL (60.050), LXCXL (60.140), LXCCXL (60.240), LXCCCXL (60.340), LXDXL (60.540), LXMXL (61.040), LXMCMXL (61.940), LXMMXL (62.040), LXMMMXL (63.040), LXVXL (65.040), LXIXL (69.050), LXXXL (70.040), LXXL (70.050), LXXIXXL (79.040), LXXXXL (80.040), LXXXL (80.050), XCX (90.010), XCCX (90.110), XCCCX (90.210), XCCCCX (90.310), XCDCX (90.610), XCMCX (91.110), XCMMCX (92.110), XCMMMCX (93.110), XCVCX (95.110), C (100.000), CXC (100.090), CC (100.100), CCC (100.200), CCCC (100.300), CDC (100.600), CMC (101.100), CMMC (102.100), CMMMC (103.100), CVC (105.100), CXXC (110.090), CXC (110.100), CXCXC (110.190), CXCCXC (110.290), CXCCCXC (110.390), CXDXC (110.590), CXMXC (111.090), CXMCMXC (111.990), CXMMXC (112.090), CXMMMXC (113.090), CXVXC (115.090), CXIXC (119.100), CXXXC (120.090), CXXC (120.100), CXXIXXC (129.090), CXXXXC (130.090), CXXXC (130.100), CXLXC (140.090), CLC (150.100), CXC (190.000), CXCXC (190.090), CXCCXC (190.190), CXCCCXC (190.290), CXCCCCXC (190.390), CXCDCXC (190.690), CXCMCXC (191.190), CXCMMCXC (192.190), CXCMMMCXC (193.190), CXCVCXC (195.190), CC (200.000), CCC (200.100), CCCC (200.200), CCCCC (200.300), CCDCC (200.700), CCMCC (201.200), CCMMCC (202.200), CCMMMCC (203.200), CCVCC (205.200), CCXCC (210.200), CCXIXCC (219.200), CCXXCC (220.200), CCXXXCC (230.200), CCLCC (250.200), CCXCC (290.100), CCC (300.000), CCCC (300.100), CCCCC (300.200), CCCCCC (300.300), CCCDCCC (300.800), CCCMCCC (301.300), CCCMMCCC (302.300), CCCMMMCCC (303.300), CCCVCCC (305.300), CCCXCCC (310.300), CCCXIXCCC (319.300), CCCXXCCC (320.300), CCCXXXCCC (330.300), CCCLCCC (350.300), CCCXCCC (390.200), CDC (400.100), CDDC (400.600), CDMDC (401.600), CDMMDC (402.600), CDMMMDC (403.600), CDVDC (405.600), CDXDC (410.600), CDXIXDC (419.600), CDXXDC (420.600), CDXXXDC (430.600), CDLDC (450.600), D (500.000), DCD (500.400), DD (500.500), DMD (501.500), DMMD (502.500), DMMMD (503.500), DVD (505.500), DXD (510.500), DXIXD (519.500), DXXD (520.500), DXXXD (530.500), DLD (550.500), DCCD (600.400), DCD (600.500), DCMCD (601.400), DCMMCD (602.400), DCMMMCD (603.400), DCVCD (605.400), DCXCD (610.400), DCXIXCD (619.400), DCXXCD (620.400), DCXXXCD (630.400), DCLCD (650.400), DCXCD (690.500), DCCCD (700.400), DCCD (700.500), DCCXCCD (790.400), DCCCCD (800.400), DCCCD (800.500), CMC (900.100), CMMC (901.100), CMMMC (902.100), CMMMMC (903.100), CMXMC (911.100), CMXXMC (921.100), CMXXXMC (931.100), CMLMC (951.100), M (1.000.000), MCM (1.000.900), MM (1.001.000), MMM (1.002.000), MMMM (1.003.000), MXM (1.011.000), MXXM (1.021.000), MXXXM (1.031.000), MLM (1.051.000), MCCM (1.100.900), MCM (1.101.000), MCMCM (1.101.900), MCMMCM (1.102.900), MCMMMCM (1.103.900), MCVCM (1.105.900), MCXCM (1.110.900), MCXIXCM (1.119.900), MCXXCM (1.120.900), MCXXXCM (1.130.900), MCLCM (1.150.900), MCXCM (1.191.000), MCCCM (1.200.900), MCCM (1.201.000), MCCXCCM (1.290.900), MCCCCM (1.300.900), MCCCM (1.301.000), MCDCM (1.400.900), MDM (1.501.000), MCM (1.900.000), MCMCM (1.900.900), MCMMCM (1.901.900), MCMMMCM (1.902.900), MCMMMMCM (1.903.900), MCMXMCM (1.911.900), MCMXXMCM (1.921.900), MCMXXXMCM (1.931.900), MCMLMCM (1.951.900), MM (2.000.000), MMM (2.001.000), MMMM (2.002.000), MMMMM (2.003.000), MMXMM (2.012.000), MMXXMM (2.022.000), MMXXXMM (2.032.000), MMLMM (2.052.000), MMCMM (2.102.000), MMCXCMM (2.192.000), MMCCMM (2.202.000), MMCCCMM (2.302.000), MMDMM (2.502.000), MMCMM (2.901.000), MMM (3.000.000), MMMM (3.001.000), MMMMM (3.002.000), MMMMMM (3.003.000), MMMXMMM (3.013.000), MMMXXMMM (3.023.000), MMMXXXMMM (3.033.000), MMMLMMM (3.053.000), MMMCMMM (3.103.000), MMMCXCMMM (3.193.000), MMMCCMMM (3.203.000), MMMCCCMMM (3.303.000), MMMDMMM (3.503.000), MMMCMMM (3.902.000).

Por fin, conviene agregar que existen diez números que permanecen palindrómicos cuando se utiliza tanto el sistema de numeración arábigo cuanto el sistema de numeración romano:

I                         1

II                       2           

III                      3

V                       5           

VV                    5.005

VV                    5.000.005

VMV                 5.001.005

VMMV             5.002.005

VMMMV          5.003.005

VVV                 5.005.005

Tales números representan una rara convergencia palindrómica entre estos sistemas numéricos, enseñando que los palíndromos trascienden culturas, tiempo y espacio.

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[3] Debido a restricciones informáticas, los trazos simples y dobles, que se deberían presentar sobre los números, fueron presentados bajo ellos, en forma de guion bajo simple y guion bajo doble.